我们知道，如果x1、x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0的两根，那么

　　x1+x2=-b/a，x1x2=c/a.

　　这就是韦达定理，也称为根和系数的关系．

　　韦达定理来自于求根公式，只需要在由求根公式得到的两个根中，把它们分别相加、相乘，再进行化简即可得．

　　韦达定理用的最多的解决已知两根关系求字母系数的问题．很少人想到利用韦达定理也可以解方程．

　　例如 已知x=2是方程x^2+x+k^2-3k-7=0的一个根，则另一个根是 ．

　　解析：不少人见到这个题想到的方法是根据根的定义，把x=2代入方程，得

　　4+2+ k^2-3k-7=0，

　　整理，得k^2-3k-1=0，

　　接下来不够聪明的学生的做法是解这个方程，求得k的值后再代入，得已知方程为：

　　x^2+x-6=0……

　　比较聪明学生的做法是：k^2-3k-1=0，得：

　　k^2-3k=1，

　　直接代入方程，得：

　　x^2+x-6=0……

　　但不管聪明与不聪明，都需要再解方程x^2+x-6=0，才能求得另一个根为x=-3．

　　而从韦达定理入手，设另一个根为m,则方程两根为2和m，

　　由韦达定理中的两根和关系，得：

　　2+m=-1，m=-3.

　　所以，另一根为x=-3.

　　再看如下几例：

　　例1 已知x=3是方程x^2+(2k-1)x+6=0的一个根，求另一根及k的值．

　　解：设另一根为m，则方程两根为3和m，

　　所以3×m=6，m=2，

　　所以3+2=-(2k-1)，k=-2.

　　所以，方程另一根为2，k的值为-2.

　　例2 解方程：3x^2-7x+4=0．

　　解析：观察方程系数3，-7，4，它们的和为0，

　　即当x=1时，方程的左边等于右边，

　　所以x=1是方程的一个根，

　　设另一根为n，则

　　1×n=4/3，n=4/3.

　　所以x1=1，x2=4/3.

　　例3 解方程：2x^2+3x+1=0.

　　解：易知，x=-1时，方程的左边=2-3+1=0=右边，

　　所以x=-1是方程的一个根，设另一根为n，则

　　-1×n=1/2，n=-1/2.

　　所以方程的根为x1=-1，x2=-1/2.

　　例4 设a≠b，解关于x的方程：

　　(a-b)x^2+(b-c)x+c-a=0.

　　解：易知，x=1满足方程，所以方程的一根为x=1，

　　设另一根为n，则

　　1×n=(c-a)/(a-b)，n=(c-a)/(a-b)．

　　所以方程的根为x1=1，x2=(c-a)/(a-b)．

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